Số Lucas – Wikipedia tiếng Việt

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L₀ = 2 và L₁ = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

${displaystyle L_{n}:={begin{cases}2&{mbox{if }}n=1;\1&{mbox{if }}n=2;\L_{n-1}+L_{n-2}&{mbox{if }}n>1.\end{cases}}}$

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... (dãy số A000032 trong bảng OEIS)

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại L_n-2 = L_n - L_n-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với ${displaystyle -5leq {}nleq 5}$): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

• ${displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.!}$

Công thức tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tổng quát của số Lucas:

${\displaystyle L_n={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^n+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{)}^n={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^n+(-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}{2}\right)}^n,}$

với ${displaystyle varphi }$ bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, ${displaystyle L_{n}}$ là số nguyên gần với ${displaystyle varphi ^{n}}$ nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci[sửa | sửa mã nguồn]

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

• ${displaystyle ,L_{n}=F_{n-2}+F_{n}}$


• tổng quát hơn là công thức sau:

${displaystyle L_{n}=F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}}$ với mọi k<n; (2.1)

Chứng minh

Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

${displaystyle L_{n}}$

${displaystyle =F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}}$

${displaystyle =F_{k+2}.(L_{n-k-1}+L_{n-k-2})+F_{k+1}.L_{n-k-1}}$

${displaystyle =(F_{k+2}+F_{k+1}).L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}}$

${displaystyle =F_{k+3}.L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}.}$

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

• ${\displaystyle L_n^2=5F_n^2+4(-<!--\; -\; -->1{)}^n}$, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số ${displaystyle L_{n} over F_{n},}$ tiến đến ${displaystyle {sqrt {5}},}$ khi ${displaystyle n,}$ tiến đến +∞.

Chứng minh

Sử dụng công thức tổng quát.

• ${displaystyle ,F_{2n}=L_{n}F_{n}}$

Chứng minh

Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

${displaystyle L_{n}F_{n}=(varphi ^{n}+(1-varphi )^{n})({{varphi ^{n}-(1-varphi )^{n}} over {sqrt {5}}})}$

Rút gọn lại được:

${displaystyle L_{n}F_{n}=)({{varphi ^{2n}-(1-varphi )^{2n}} over {sqrt {5}}}=L_{2n}}$

• ${displaystyle ,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} over 5}}$

Chứng minh

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi chỉ số là số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

L_n đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, L_n cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

L_mn chia hết cho L_n nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để L_n là số nguyên tố.

Số nguyên tố Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... (dãy số A005479 trong bảng OEIS)

Nếu L_n là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.^[1]

Các số Lucas có dạng L_{${displaystyle 2^{m}}$} là số nguyên tố được biết cho đến nay là ${displaystyle m}$ = 1, 2,3 và 4.

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

${displaystyle L_{n}(x)={begin{cases}2,&{mbox{if }}n=0\x,&{mbox{if }}n=1\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{mbox{if }}ngeq 2end{cases}}}$

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

${displaystyle L_{0}(x)=2,}$

${displaystyle L_{1}(x)=x,}$

${displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2,}$

${displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x,}$

${displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2,}$

${displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x,}$

${displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2,}$